Einstellungsfrage des Top Hedge Funds Citadel

Einstellungsfrage des Top Hedge Funds Citadel

Viel Spaß!

Also nehmen wir mal an, das Spiel wäre mit 2 Boxen und ich wäre "Verkäufer", also derjenige, der die 100 Pfund in die Box steckt. Wieviel müsste ich verlangen, um nicht zu verlieren?
Die Hälfte der Spieler schafft es nach einem Versuch, die andere erst nach zweien. Somit müsste ich bei zwei Spielen 200 / 3 Versuche im Schnitt = 66,66 Pfund verlangen.

Bei vier Boxen wären es dann: ein Spieler schafft es bei einem, einer bei zwei, einer bei drei und einer bei vier Versuchen. Bei vier Spielen dann 400 / 10 = 40 Pfund pro Versuch.

Aus Spielersicht dann umgekehrt: ich brauche im Schnitt genau 2,5 Versuche um zu gewinnen. Somit 100 / 2,5 = 40 Pfund pro Versuch.

* in einem normalen Spiel der niedrigstmögliche Einsatz z.B. 1 Pfund pro Spiel, damit der maximale Gewinn rauskommt.
* bei einer Gewinnerwartung von Null würde ich 24 Pfund pro Runde einsetzen
Gewinnwahrscheinlichkeit steigt bei jeder Runde, von anfangs 25% auf 33,3% und dann 50%: 0,25*0,33*0,5*1=0,041625. Der maximale Gewinn 100 Pfund/4,1625 macht Einsatz von 24 Pfund.

aber der Haken an der Sache: es ist die Rede vom "Fair Game", also der Spieler soll keinen Gewinn machen. Die Gewinne die erspielt wird soll mit den Verlusten ausgeglichen werden. Finde den Gedanken nicht sehr sportlich (alle Sportarten sind zero-sum games), dieser spieltheoretische Ansatz hat so was politisch-diplomatisches an sich. Würde es als ein non-zero sum game beschreiben.
* dann trifft die Rechnung von speculatius zu, also 40 Pfund pro Runde.

Die Frage geht aber noch weiter:

Instead of maintaining a constant price, if you choose to continue playing after two incorrect guesses the price changes to ZZ. What is the fair value of X and ZZ?

Box Game
Es gibt vier versiegelte Boxen. In einer Kiste sind 100 Pfund und die anderen sind leer.
Ein Spieler kann x bezahlen, um eine Kiste zu öffnen, und den Inhalt so oft nehmen,
wie er möchte.

Angenommen, es handelt sich um ein faires Spiel, wie hoch ist der Wert von X?

ChatGPT - Bitte erklären....

Natürlich! Lassen Sie uns die Konzepte hinter dieser Frage Schritt für Schritt durchgehen.

### 1. **Versiegelte Boxen**:

Es gibt **vier Boxen**, und jede von ihnen ist versiegelt. In einer dieser Boxen befinden sich **100 Pfund**, während die anderen drei Boxen **leer** sind.



### 2. **Das Ziel des Spiels**:

Ein Spieler hat die Möglichkeit, eine Box zu öffnen, um den Inhalt zu sehen. Wenn er dies tut, **kann er den Inhalt der Box behalten**, was bedeutet, dass er die 100 Pfund bekommen kann, wenn er die richtige Box öffnet. Aber er kann auch weiter spielen und andere Boxen öffnen, um zu sehen, ob er die 100 Pfund findet. Allerdings muss er für jede Box, die er öffnet, **X bezahlen**.



### 3. **Der Wert von X**:

Die Frage ist: **Wie hoch sollte der Betrag X sein, damit das Spiel als fair betrachtet wird?**

Um das zu verstehen, müssen wir uns ansehen, was **„fair“** in diesem Kontext bedeutet. Ein faires Spiel bedeutet, dass der **erwartete Wert** (also der durchschnittliche Gewinn oder Verlust) des Spiels für den Spieler **gleich null** ist. Das heißt, der Spieler sollte im Durchschnitt weder gewinnen noch verlieren, wenn er das Spiel oft spielt.



### 4. **Erwartungswert**:

Der **Erwartungswert** ist eine wichtige Idee in der Spieltheorie und der Wahrscheinlichkeit. Es ist der durchschnittliche Gewinn oder Verlust, den man erwarten kann, wenn man ein Spiel viele Male spielt.

In diesem Fall gibt es 4 Boxen, aber nur eine davon enthält 100 Pfund. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler die Box mit den 100 Pfund öffnet, 1 von 4, oder **25%**. Die Wahrscheinlichkeit, eine leere Box zu öffnen, beträgt 3 von 4, also **75%**.

Wenn der Spieler eine Box öffnet, hat er:

* Mit 25% Wahrscheinlichkeit 100 Pfund gewonnen.
* Mit 75% Wahrscheinlichkeit hat er **nichts** gewonnen.



### 5. **Berechnung des fairen Preises X**:

Um den fairen Preis X zu berechnen, müssen wir sicherstellen, dass der Erwartungswert des Spiels null ist.

* Wenn der Spieler **X bezahlt** und eine Box mit 100 Pfund öffnet, hat er einen Gewinn von **100 - X**.
* Wenn der Spieler eine leere Box öffnet, hat er einen Verlust von **X**.

Der Erwartungswert des Spiels lässt sich also folgendermaßen berechnen:

Erwartungswert=(Wahrscheinlichkeit für 100Pfund) × (Gewinn bei 100Pfund) + (Wahrscheinlichkeit für leer) × (Verlust bei leer)


   




### 6. **Erklärung des Ergebnisses**:

Der faire Preis, den der Spieler zahlen sollte, um eine Box zu öffnen, beträgt **25 Pfund**. Das bedeutet:

* Wenn der Spieler 25 Pfund zahlt und die Box mit 100 Pfund öffnet, hat er einen Gewinn von 100 - 25 = **75 Pfund**.

* Wenn der Spieler eine leere Box öffnet, hat er einen Verlust von **25 Pfund**.

Im Durchschnitt würde der Spieler auf lange Sicht weder gewinnen noch verlieren, wenn er immer 25 Pfund zahlt, um eine Box zu öffnen. Das Spiel ist dann **fair**, weil der erwartete Gewinn oder Verlust für den Spieler **null** ist.


### Beispiel:

* Wenn ein Spieler also 25 Pfund zahlt, öffnet er eine Box. Im Schnitt wird er auf lange Sicht (bei vielen Wiederholungen des Spiels) etwa 25 Pfund verlieren oder gewinnen, was bedeutet, dass das Spiel insgesamt ausgeglichen ist.


Ich hoffe, das hilft dir, die Konzepte zu verstehen! Hast du noch Fragen dazu?

Mich würde interessieren warum ich so ein Spiel spielen soll - wenn am Ende weder "die Bank" noch der Spieler am Ende gewinnen soll.... 

Das ist eine sehr gute Frage! Warum sollte jemand ein Spiel spielen, bei dem der erwartete Gewinn **null** ist? Wenn das Spiel „fair“ ist, bedeutet das, dass der **Spieler** und **die Bank** (also der Betreiber des Spiels) langfristig gesehen keinen Vorteil oder Nachteil haben – sie machen keinen Gewinn und keinen Verlust.

### 1. **Das Prinzip des "Fairness"**

Ein faires Spiel in diesem Kontext ist ein **Mathematikmodell**, das vor allem dazu dient, die zugrundeliegenden Prinzipien der **Wahrscheinlichkeit** und **Erwartungswerte** zu verdeutlichen. In einem echten Markt oder bei echten Wettspielen würde niemand ein Spiel anbieten, bei dem weder der Spieler noch der Betreiber etwas gewinnt, oder?

**Warum überhaupt spielen?**

* **Unterhaltung**: Menschen spielen oft Glücksspiele oder nehmen an solchen "fairen" Spielen teil, weil sie **Unterhaltung** suchen. Das Ziel ist es nicht immer, langfristig zu gewinnen, sondern die Spannung und das Erlebnis zu genießen.
* **Wahrscheinlichkeit und Risiko**: Manche Spieler sind an **Risikomanagement** und der **psychologischen Herausforderung** interessiert, die damit einhergeht. Das Spiel fordert einen heraus, die Wahrscheinlichkeit zu verstehen und Entscheidungen basierend auf unsicheren Ergebnissen zu treffen.

### 2. **Der Nutzen für den Betreiber (die "Bank")**

Im Beispiel des „fairen Spiels“ geht es nicht unbedingt darum, dass der Betreiber des Spiels **Geld gewinnt**. Das Spiel könnte auch als eine Art **Werbemaßnahme** oder **Marketingstrategie** fungieren, um Spieler zu einer anderen Aktivität zu locken, die profitabler ist.

In einem echten Casino oder einem Hedge Fund könnte dies zum Beispiel ein **Lernspiel** oder ein **Einstiegsspiel** sein, bei dem der Spieler den Umgang mit Risiken, Wahrscheinlichkeiten und finanziellen Entscheidungen übt.

### 3. **Das Konzept von „Fairness“ im echten Leben**

In der realen Welt ist es extrem selten, dass ein Spiel tatsächlich völlig „fair“ ist. Es gibt oft eine **Hausvorteil**, der den Betreiber des Spiels begünstigt. Ein Beispiel: Im Casino gibt es fast immer einen kleinen Vorteil für das Casino, der sicherstellt, dass sie auf lange Sicht einen Gewinn erzielen. In deinem Beispiel würde die „faire“ Natur des Spiels dazu führen, dass keiner der Spieler oder Betreiber langfristig einen finanziellen Vorteil hat – aber das würde ein perfektes Gleichgewicht darstellen, das in der Realität eher selten ist.

### 4. **Erwartungswert und Realität**

Der **Erwartungswert** in einem fairen Spiel ist ein theoretisches Konzept. In der echten Welt gehen die meisten Spiele und Märkte davon aus, dass der Betreiber irgendwann einen **Vorteil** hat, um Gewinne zu erzielen. Der „faire“ Aspekt hier könnte lediglich ein Modell sein, das zeigt, wie der **Wert** einer Entscheidung unter Unsicherheit berechnet wird. In der Realität könnte das Spiel so angepasst werden, dass die Bank oder der Betreiber langfristig einen Gewinn erzielt.

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### Zusammengefasst:

Das „faire Spiel“ ist mehr ein theoretisches Experiment und zeigt, wie die Wahrscheinlichkeiten in einem bestimmten Szenario balanciert sind. Es ist **nicht unbedingt** ein Spiel, das jemand spielen würde, um zu gewinnen, weil es langfristig weder für den Spieler noch für die Bank einen Vorteil gibt.

Es geht mehr darum, die **Wahrscheinlichkeiten** und **Erwartungswerte** zu verstehen, als um echtes Gewinnen oder Verlieren. In einem echten Szenario könnte der Betreiber das Spiel anpassen, um einen kleinen Vorteil zu haben, damit es sich wirtschaftlich lohnt, es anzubieten.

Hast du Interesse an solchen **Wahrscheinlichkeitsmodellen** oder an der **Mathematik hinter Glücksspielen**?

Edit:

Für die 2. Frage habe ich die 1. Frage nochmal gestellt (weil schon wieder gelöscht).
Da war die Antwort dann 33,33 Pfennig....

boersenkater



ChatGPT - Bitte erklären....

Einfach so was gedankenlos zu pasten ist stupide. Erklär wenigstens, warum der Ansatz falsch ist.

Das ist nicht der HF. Sondern der hft/mm

Ich habe mal die gesichert rechtsradikale GROK 3 AI befragt, Ergebnis und Rechenweg soweit korrekt:


### Key Points
- It seems likely that the fair value of X is 40 pounds, based on expected value calculations.
- The game involves paying X to open boxes until finding 100 pounds, with the expected cost balancing the gain.
- Interpretations may vary, but this approach aligns with standard probability models.

### Direct Answer

The fair value of X, where a player pays X to open a box and can continue until finding 100 pounds in one of four sealed boxes (with the others empty), appears to be **40 pounds**. This is based on calculating the expected number of boxes opened, which is 2.5, and setting the expected cost (2.5 times X) equal to the 100-pound gain for a fair game.

**How We Got Here** 
The game is considered fair if the expected net gain is zero, meaning the cost of playing equals the expected winnings. Since the player can keep opening boxes by paying X each time until finding the money, we calculated the average number of boxes opened (2.5) and solved for X, leading to 40 pounds. This assumes the player continues until finding the money, which seems reasonable given the problem's structure.

**Why It Matters** 
This value ensures neither the player nor the game organizer has an expected advantage, aligning with the "fair game" condition. However, interpretations of "as many times as they like" could vary, so this is our best estimate based on standard probability reasoning.

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### Survey Note: Detailed Analysis of the Box-Opening Game

This section provides a comprehensive exploration of the problem, where a player engages in a game involving four sealed boxes, one containing 100 pounds and the others empty. The player can pay X to open a box and take its contents, repeating this process as many times as they like, with the game assumed to be fair. We aim to determine the value of X that makes the game fair, meaning the expected net gain is zero. Below, we detail the reasoning, explore interpretations, and present calculations to arrive at our conclusion.

#### Problem Interpretation and Initial Considerations
The problem states there are four sealed boxes, one with 100 pounds and three empty, and the player can pay X to open a box and take its contents "as many times as they like." The game is fair, implying the expected value of playing should be zero, balancing costs and gains. The phrase "as many times as they like" suggests the player can repeatedly pay X to open boxes, likely continuing until finding the money or deciding to stop, but given the context, we interpret it as paying X per box opened until finding the 100 pounds, as this aligns with standard expected value problems.

Initially, we considered two main interpretations:
1. The player pays X once and opens one box, taking its contents.
2. The player pays X each time to open a box, continuing until finding the money or choosing to stop.

For the first interpretation, if it's a one-time payment X to open one box, the expected value is (1/4)*100 + (3/4)*0 - X = 25 - X, and for fairness, 25 - X = 0, so X = 25 pounds. However, "as many times as they like" suggests multiple openings, leading us to favor the second interpretation, where the player pays X per box until finding the money.

#### Modeling the Game as Sequential Box Openings
Given the player can pay X each time to open a box, we model this as a sequential process where the player continues until finding the box with 100 pounds. This is akin to a stopping problem, where the number of boxes opened, N, is the number of trials until success, with success being finding the money. Since the boxes are opened without replacement and the player stops upon finding the money, N follows a distribution where:
- There are four boxes, one with money, and the player picks randomly each time.
- The probability of finding the money on the k-th box opened depends on the previous choices being empty.

We calculated the probability distribution of N, the number of boxes opened until finding the money:
- P(N=1) = 1/4 (first box has money).
- For N=2, the first is empty (3/4) and second has money given first was empty, which is 1/3 (since three boxes left, one with money), so P(N=2) = (3/4)*(1/3) = 1/4.
- For N=3, first two empty and third has money: (3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/4 (as calculated, (3/4)*(2/3)=1/2, then 1/2*1/2=1/4).
- For N=4, first three empty and fourth has money, which is (3/4)*(2/3)*(1/2)=1/4, confirming P(N=4)=1/4.

Interestingly, this suggests P(N=k)=1/4 for k=1 to 4, which we verified by recognizing it's equivalent to the position of the money box in a random permutation being equally likely in any of the four positions. Thus:
- P(N=1) = 1/4
- P(N=2) = 1/4
- P(N=3) = 1/4
- P(N=4) = 1/4

The expected value E[N] = sum_{k=1 to 4} k * P(N=k) = (1*1/4) + (2*1/4) + (3*1/4) + (4*1/4) = (1+2+3+4)/4 = 10/4 = 2.5.

#### Calculating the Fair Value of X
If the player pays X for each box opened and continues until finding the money, the total cost is N*X, and they gain 100 pounds when they find it. The expected net gain is:
- Expected gain = 100 pounds (since they always find it eventually).
- Expected cost = E[N]*X = 2.5*X.

For the game to be fair, expected net gain = 0, so:
- 100 - 2.5*X = 0
- 2.5*X = 100
- X = 100 / 2.5 = 40 pounds.

To verify, we can compute the expected net gain for X=40:
- For N=1: Pay 40, gain 100, net = 60, probability 1/4, contribution = 60*(1/4)=15.
- For N=2: Pay 80, gain 100, net = 20, probability 1/4, contribution = 20*(1/4)=5.
- For N=3: Pay 120, gain 100, net = -20, probability 1/4, contribution = -20*(1/4)=-5.
- For N=4: Pay 160, gain 100, net = -60, probability 1/4, contribution = -60*(1/4)=-15.
- Total expected net gain = 15 + 5 - 5 - 15 = 0, which confirms fairness.

#### Exploring Alternative Interpretations
We considered if "as many times as they like" meant paying X once to play and then opening boxes without additional cost, but this would make X=100 for fairness, which seems trivial. Another interpretation is the player pays X per box but can stop early, leading to a dynamic programming approach where V(n) is the expected value with n boxes left. However, given the problem's structure and the fair game condition, continuing until finding the money is the most reasonable strategy, leading back to X=40.

To cross-check, we tested with two boxes: E[N]=1.5, 100 - 1.5*X=0, X=66.67, and calculations balanced, supporting our method. For four boxes, X=40 fits similarly.

#### Conclusion
Based on the detailed calculations, the fair value of X is 40 pounds, ensuring the expected net gain is zero when the player pays X per box opened until finding the 100 pounds. This interpretation aligns with standard probability and expected value concepts for such games.

| **Number of Boxes (n)** | **Probability P(N=n)** | **Cost (n*X)** | **Net Gain (100 - n*X, for X=40)** |
|-------------------------|------------------------|----------------|-------------------------------|
| 1                      | 1/4                    | 40            | 60                            |
| 2                      | 1/4                    | 80            | 20                            |
| 3                      | 1/4                    | 120            | -20                          |
| 4                      | 1/4                    | 160            | -60                          |
| **Expected Net Gain**  | -                      | -              | 0 (calculated as shown above) |

This table summarizes the contributions, confirming X=40 balances the game.

### Key Citations
- [Three boxes with a prize in one box discussion on Reddit](https://www.reddit.com/r/mathematics/com..._and_your/)
- [Probability problem with boxes and prizes on Vaia](https://www.vaia.com/en-us/textbooks/mat...f-a-certa/)
- [Bertrand’s Box paradox explanation](https://whyevolutionistrue.com/2018/02/2...er-is-2-3/)
- [Probability boxes problem on Mathematics Stack Exchange](https://math.stackexchange.com/questions...lity-boxes)
- [Monty Hall problem explanation on Ust](https://sciencefocus.ust.hk/montyhall)

Einfach so was gedankenlos zu pasten ist stupide. Erklär wenigstens, warum der Ansatz falsch ist.

Welche?
Wenn sich das gleichmässig verteilt (das ist ja die Theorie) scheint mir
25 Pfund richtig zu sein.

400 Spiele - 10.000 Pfund Einsatz
100 Spiele - 10.000 Pfund Gewinnausschüttung

Hab den Rest vorher nicht angeschaut - nur das hervorstechende Ergebnis 33,33 Pfennig -
warum das falsch ist? Es geht um Pfund - dementsprechend wären das Pence und nicht
Pfennig...